Einschaltvorgang bei einer Spule und Induktivität

Handelt es sich bei der Spule um eine sogenannte "schlanke Spule", dann ist man in der Lage, die magnetische Flussdichte dieser Spule mithilfe der Spuleneigenschaften wie Länge  l, Querschnittsfläche A, Windungszahl n, der Permeabiltätszahl des Materials in der Spule und schließlich der Stromstärke durch diese Spule explizit auszurechnen. 

Die Selbstinduktionsspannung wird durch die Induktivität L und die Stromstärkeänderung beschrieben:

                   U_ind(t) = - L · dI / dt             (1)

Nach dem Induktionsgesetz kann man die Induktionsspannung auch schreiben als: 

                         U_ind(t) = - n_ind·A_ind · dB/dt          (2)

Die magnetische Flussdichte einer stromdurchflossenen Spule kann bei einer schlanken Spule explizit beschrieben werden als:

B(t) = μ₀ · μ_r · n_ind · I(t) / l_ind

Hierbei ist  l_ind die Länge der Spule, n_ind die Windungszahl der Spule und μ_r die Permeabilität des Materials in dieser Spule. 

Damit ist die zeitliche Ableitung der magnetischen Flussdichte dB/dt:

                          dB/dt = μ₀ · μ_r · n_ind/ l_ind · dI /dt              (3)

Gleichung (3) wird in Gleichung (2) eingesetzt:

                     U_ind(t) = - N_ind · A_ind [ μ₀ · μ_r · n_ind/ l_ind · dI / dt ] 

Die Faktoren neu geordnet: 

             U_ind(t) = - ( μ₀ · μ_r · n²_ind · A_ind/ l_ind ) · dI / dt

Die Faktoren in der Klammer sind alle zeitlich konstant und hängen nur von den Spulenparametern ab. Die Induktivität L einer schlanken Spule ergibt sich nach Gleichung (1):

L = μ₀ · μ_r · n²_ind · A_ind / l_ind

Hierbei sind n_ind die Windungszahl, A_ind die Querschnittsfläche und l_ind die Länge der Spule.