• 3.1 Rechnerisches Lösen von Polynomgleichungen und Lösungsstrategie begründen

    • Ich kann...

      • ... die Polynomgleichung durch direktes Wurzelziehen lösen;
      • ... die Polynomgleichung durch Faktorisierung durch Ausklammern und Satz vom Nullprodukt lösen;
      • ... die Polynomfunktion durch Substitution lösen;
      • ... die Polynomfunktion mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen;
      • ... eine Lösungsstrategie einer Polynomgleichung zuordnen;
      • ... meine gewählte Lösungsstrategie begründen;
      • ... zur Lösung von Problemen Strategien anwenden;
      • ... Entscheidungen voranbringen;
      • ... mit einem Partner oder in Lerngruppen arbeiten;
      • ... eine Aufgabe ausdauernd bearbeiten;
      • ... Inhalte zusammenfassen und strukturieren.

    • Quadratische Gleichungen mit der abc-Formel lösen

      20 min



      Zur Berechnung von Nullstellen setzt man den Funktionsterm gleich null: f(x)=0. 

      Dabei ergeben sich sehr oft quadratische Gleichungen, insbesondere bei quadratischen Funktionen. 

      Diese kann man mithilfe der abc-Formel lösen.

      Bearbeiten Sie zuerst das GeoGebra-Applet. 

      Erstellen Sie drei Merksätze für das Berechnen von Nullstellen bei quadratischen Funktionen.
      Was gilt jeweils für die Diskriminante?
      1. Betrachten Sie nun die Funktionsgraphen. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktionen durch Ablesen aus dem jeweiligen Graphen.
                                                     
            Graph 1         Graph 2       Graph 3

      2. Gegeben ist eine quadratische Funktion mit dem Funktionsterm  f ( x ) = − 4 x 2 − 3 x + 1..

      Ermitteln Sie die Nullstellen grafisch und rechnerisch.

    • Quadratische Gleichungen mit der pq-Formel lösen

      20 min

       

      Zur Berechnung von Nullstellen setzt man den Funktionsterm gleich null: f(x)=0. 

      Dabei ergeben sich sehr oft quadratische Gleichungen, insbesondere bei quadratischen Funktionen. 

      Diese kann man mithilfe der pq-Formel lösen.

      Bearbeiten Sie zuerst das GeoGebra-Applet. 

      Erstellen Sie drei Merksätze für das Berechnen von Nullstellen bei quadratischen Funktionen.
      Was gilt jeweils für die Diskriminante?
      1. Betrachten Sie nun die Funktionsgraphen. Bestimmen Sie die Nullstelle der Funktionen durch Ablesen aus dem jeweiligen Graphen.
                                                     
                Bild 1        Bild 2            Bild 3                           

      2. Gegeben ist eine quadratische Funktion mit der Funktionsgleichung f ( x ) = − 4 x 2 − 3 x + 1.
      Ermitteln Sie die Nullstellen grafisch und rechnerisch.

    • Ausklammern und Satz vom Nullprodukt

      20 min

       

      Hören Sie sich das Diktat mit Ihrem Partner zum Ausklammern und dem Satz vom Nullprodukt Satz für Satz einmal ganz an.

      Dann hören Sie sich es nochmal an.

      Führen Sie jeden Schritt mit der Beispielaufgabe aus. 

      Erstellen Sie gemeinsam einen Aufschrieb in den Zeilen.



      Hilfestellung

    • Direktes Wurzel ziehen

      20 min

       

      Hat der Funktionsterm nur eine Potenz und eine Zahl, so kann man die Nullstellen direkt ausrechnen.
      Man setzt den Funktionsterm gleich null: f(x)=0. 
      Dann berechnet man das gesuchte „x“ direkt durch Äquivalenzumformungen.

      Es gilt zu beachten:
      1. Ist die Potenz ungerade, so hat die Gleichung immer eine Lösung. Hier kann man auch aus einer negativen Zahl die Wurzel ziehen.
      2. Ist die Potenz gerade, so hat die Gleichung eine, zwei oder keine Lösung.

      Üben Sie mit dem Applet



      Hilfestellung

    • Substitution

      20 min


      Mit diesem Applet können Sie die Nullstellen von Polynomfunktionen vom Grad 4 oder auch Grad 6 lösen. 

      Das vorgestellte Verfahren der Substitution kann aber nur bei einer bestimmten Art von Polynomfunktionen angewendet werden: Es dürfen nur gerade Potenzen von x bei der höchsten Potenz vorkommen, d. h. der zugehörige Graph ist symmetrisch zur y-Achse.

      Die Nullstellen sind in dieser Übung stets ganzzahlig, sodass die Aufgaben ohne die Zuhilfenahme eines Taschenrechners bewältigt werden können.

      Erarbeiten Sie gemeinsam mit Ihrem Partner das Vorgehen bei einer Nullstellenbestimmung durch Substitution.
      Erstellen Sie gemeinsam eine Vorgangsbeschreibung und laden Sie diese im Studierendenordner hoch.


    • Reflexion

      10 min

      Sie haben in der Datenbank Ihre Ergebnisse für das Lösen von Polynomgleichungen hochgeladen.
      Schauen Sie sich die Einträge Ihrer Mitlernenden an.

      Wie unterscheiden sie sich von Ihren?
      Welches Vorgehen haben die anderen gewählt?
      Könnten Sie damit arbeiten? Begründen Sie dies.

      Geben Sie einem Lernenden eine Rückmeldung zu seiner/ihrer Datenbank.

    • Arbeitsauftrag

      10 min



      Schauen Sie sich die gegebenen Polynomgleichungen an. 

      Überlegen Sie, wie diese zu lösen sind.

      Welche speziellen Punkte berechnen Sie mit diesen Gleichungen?

    • Reflexion

      30 min

      Überprüfen Sie Ihr Ergebnis mit einem guten Prompt für eine KI. Die KI soll Ihre Begründungen für eine Lösungsstrategie beurteilen.
      Besprechen Sie mit Ihren Mitschülern deren Prompts im Chat.

      Fragen für die Reflexion:
      • Haben Sie schon einmal einen Prompt erstellt?
      • Was war daran schwierig?
      • Wie sind Sie vorgegangen?
      • Welche KI haben Sie benutzt und wieso?
      • Konnten Sie Ihr Wissen aus Lernschritt 3.1 anwenden?
      • Haben Sie bei den Gleichungen die Lösungsmöglichkeiten erkannt?
      • Was fiel Ihnen leicht, was fiel Ihnen schwer?
      • Was würden Sie an Ihrem Lernverhalten ändern, dass es leichter für Sie ist?
      • Wenn Sie mit einem Partner:in gearbeitet haben, hat Ihnen das geholfen? In welcher Weise?